中級15
思考実験・幸福論
経験機械
ロバート・ノージック
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01アキレスと亀
俊足のアキレスは、なぜ遅い亀に追いつけないように見えるのか——古代ギリシャの哲学者ゼノンが提唱した逆理は、「運動」と「無限」の本質を鋭く問います。
02登場人物と設定
アキレスはギリシャ神話の英雄で、足が非常に速く、誰よりも先に進むことができます。亀はとても遅く、あらかじめ先に進む、コツコツ進むのが特徴です。競走の設定として、亀はアキレスよりも少し先の位置から同時にスタートします。問いは、アキレスは追いかけるのに、本当に亀に追いつけるのかというものです。
03逆理の第一段階
アキレスは、亀がスタートした位置T0まで走ります。その間に、亀は少しだけ前に進み、新しい位置T1にいます。アキレスがT0に着いたとき、亀はすでにT1に進んでいます。したがって、アキレスはなおも亀に追いつけません。
04逆理の第二段階
アキレスが次の地点に着くと、亀はすでにそこからさらに先に進んでいます。アキレスはその新しい地点を目指して走りますが、この過程が繰り返されます。アキレスが駆けるたびに亀は少し先へ進み、追いつこうとするたびにまた差が生まれるのです。
05この過程は無限に続く
アキレスが亀に近づくたびに、新しい中間地点が必ず一つ生まれます。その地点に着くと、さらにその先に次の地点が現れます。このようにして考えるべき地点は際限なく増え続け、区間は永遠に細かく分かれ続けます。したがって、アキレスが亀に追いつくには無限に多くの区間を越えなければならず、終わらないように見えるのです。
06なぜ「追いつけない」ように見えるのか
アキレスが亀に近づくたびに、亀は少し先へ進んでしまいます。この「少し先へ進む」という手順が無限に続くと考えるのがポイントです。無限に続く手順を思い浮かべると、どれだけ進んでも終わりが見えません。そのため「いつまでも追いつけない」ように見えてしまうのです。
07現代数学の答え
アキレスが亀に追いつくまでの道のりを区間に分けて考えます。各区間にかかる時間は前の区間の一部になり、どんどん短くなっていきます。無限個の時間の和でも有限値に収束することが数学的に示されます。したがって、アキレスは有限の時間で亀に追いつくことができます。
08数式でみるアキレスと亀
亀が100m先にいて、アキレスの速さが亀の10倍だとします。アキレスは亀がいた場所まで進みますが、亀はその間に先へ進みます。かかる時間は10秒・1秒・0.1秒・0.01秒と等比的に短くなります。時間の合計は10 + 1 + 0.1 + 0.01 + … = 100/9 ≈ 11.111…秒となり、等比数列の和の公式 a/(1-r)（|r|＜1）により有限の時間で追いつけることがわかります。
09この逆理が残したもの
この逆理は連続とは何かを問い直しました。空間や時間が「分けられないもの」として連続であるという意味を深く考えさせたのです。また無限を数学で扱える過程を明らかにし、私たちの直感に挑戦しました。運動とはどういうことかを問い、微積分や論理学の発展の素となりました。極限の考え方や厳密な証明の重要性を生み出すきっかけにもなったのです。
10まとめ
ゼノンは、運動と「無限」の難しさを示しました。一見すると、アキレスは亀に決して追いつけないように見えました。しかし現代数学では、アキレスは有限の時間で亀に追いつけるとわかります。それでもこの逆理は私たちに「無限」や「運動」について深く考えさせ、哲学的な価値を持ち続けています。今回はアキレスと亀についてお伝えしました。